同余问题-行测电子教材

同余问题

 

生活中我会经常遇到与余数有关的问题,比如:某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现:如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪明的你知道该年级共有学生多少名吗?

假设有一名学生不参加演出,则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8910公倍数,而8910的最小公倍数是360,因此可知该年级共有361人。

 [分析]

1、两个整数ab,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称ab对于模m同余或称ab在模m下同余,即 abmodm

2、同余的重要性质及举例。

1aamodm)(a为任意自然)

2〉若abmodm),则bamodm

3〉若abmodm),bcmodm)则acmodm

4〉若abmodm),则acbcmodm

5〉若abmodm),cdmodm),则ac=bdmodm

6〉若abmodm)则anbmmodm

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意:一般地同余没有"可除性",但是:

如果:ac=bcmodm)且(cm=1abmodm

3、整数分类:

1〉用2来将整数分类,分为两类:

13579,……(奇数)

02468,……(偶数)

2〉用3来将整数分类,分为三类:

036912,……(被3除余数是0

1471013,……(被3除余数是1

2581114,……(被3除余数是2

3〉在模6的情况下,可将整数分成六类,分别是:

0mod6):06121824,……

1mod6):17131925,……

2mod6):28142026,……

3mod6):39152127,……

4mod6):410162229,……

5mod6):511172329,……

 

[经典例题]

1:求437×309×19937除的余数。

思路分析:如果将437×309×1993算出以后,再除以7,从而引得到,即437×309×1993=269120769,此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?

4733mod7

3091mod7

"同余的可乘性"知:

437×3093×1mod7)≡3mod7

又因为19935mod7

所以:437×309×19933×5mod7

15mod7)≡1mod7

即:437×309×19937除余1

270个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:013821,……,问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?

思路分析:如果将这70个数一一列出,得到第70个数后,再用它去除以6得余数,总是可以的,但计算量太大。

即然这70个数中:中间的一个数的3倍是它两边的数的和,那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?

01382155144,……被6除的余数依次是

0132310,……

结果余数有类似的规律,继续观察,可以得到:

01323105343501323,……

可以看出余数前12个数一段,将重复出现。

70÷2=5……10,第六段的第十个数为4,这便是原来数中第70个数被6除的余数。

思路分析:我们被直接用除法算式,结果如何。

4、分别求满足下列条件的最小自然数:

1)用3除余1,用5除余1,用7除余1

2)用3除余2,用5除余1,用7除余1

3)用3除余1,用5除余2,用7除余2

4)用3除余2,用7除余4,用11除余1

思路分析:

1)该数减去1以后,是357的最小公倍数105,所以该数的是105+1=106

2)该数减去1以后是57的公倍数。因此我们可以以57的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1,被7除余1的数,即

13671106141176211246,……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。

360mod3),712mod3),符合条件的最小的数是71

3)我们首先列举出被5除余2,被7除余2的数,23772107142177212247,……山东公务员考试网

从以上数中寻找最小的被3除余1的数。

[1] [2]  下一页

Copyright 2016 . All Rights Reserved. 公务员考试信息网

Back to top返回教材列表页